歯と歯の境目のところがほんの少し黒くなっているだけ（わかりにくい）なのに、「冷たいものがしみないですか？」と聞かれて、「少し」と答えたら、「歯の中が大きな虫歯になっている」と言われました。見た目にはわからないけど、そんなことあるのですか？

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あります。というよりも歯と歯の間の虫歯の場合、そうなっている事の方が多いです。
虫歯の場所を問わず、見える所は小さな虫歯でも歯の内部で大きく広がっている事は良くあります。

歯の表面の「エナメル質」よりも内部の「象牙質」の方が虫歯の進行が早い
事が、原因です。